Biến đổi ứng suất phân tích cách các thành phần ứng suất bình thường và cắt thay đổi khi hệ tọa độ quay, trong khi Vòng tròn Mohr cung cấp một phương pháp đồ họa để trực quan hóa các biến đổi này và rút ra các thông số ứng suất chính. Cùng với nhau, chúng đơn giản hóa việc phân tích các trạng thái ứng suất phức tạp trong vật liệu và cấu trúc.

Chuyển đổi căng thẳng

Phương trình biến đổi ứng suất tính toán ứng suất bình thường (σ) và cắt (τ) trên một mặt phẳng quay theo góc θ từ hệ tọa độ ban đầu:

σx′=σx+σy2+σx−σy2Cos⁡2θ+τxytội lỗi⁡2θσx′=2σx+σy+2σx−σycos2θ+τxytội 2θτx′y′=−σx−σy2tội lỗi⁡2θ+τxyCos⁡2θτx′y′=−2σx−σytội 2θ+τxycos2θ

Ở đây, σₓ, σγ và τₓγ là các ứng suất ban đầu, và σₓ’, τₓ’γ’ là các ứng suất biến đổi27. Các phương trình này cho thấy ứng suất thay đổi hình sin theo vòng quay, lặp lại sau mỗi 180 °2.

Các khái niệm chính:

• Ứng suất chính: Ứng suất bình thường tối đa / tối thiểu (σ₁, σ₂) xảy ra khi ứng suất cắt τ = 0. Đối với ứng suất mặt phẳng, chúng được tính như sau:

  σ1,2=σx+σy2±(σx−σy2)2+τxy2σ1,2=2σx+σy±(2σx−σy)2+τxy2

37

• Ứng suất cắt tối đa: Xảy ra ở 45 ° so với các mặt phẳng chính:

  τMax=(σx−σy2)2+τxy2τMax=(2σx−σy)2+τxy2

36

Vòng tròn của Mohr

Vòng tròn Mohr là một biểu diễn đồ họa của phép biến đổi ứng suất, loại bỏ nhu cầu sử dụng phương trình trực tiếp36.

Các bước thi công

1. Ứng suất chính: Đánh dấu (σₓ, τₓγ) và (σγ, -τₓγ) trên đồ thị σ-τ25.

2. Đường kính vẽ: Kết nối hai điểm để tạo thành đường kính của hình tròn3.

3. Xác định tâm và bán kính:

   • Trung tâm (σ_avg):

     σAvg=σx+σy2

   • Bán kính (R):

     R=(σx−σy2)2+τxy2

37
4. Vòng tròn cốt truyện: Sử dụng tâm và bán kính để vẽ vòng tròn3.

Key Features

• Principal Stresses: Nằm ở các điểm ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải của vòng tròn (σ₁, σ₂)16.

• Maximum Shear Stress: Bằng bán kính của hình tròn3.

• Stress at Any Angle: Xoay đường tham chiếu 2θ trên hình tròn để tìm σ và τ cho một mặt phẳng nghiêng ở θ58.

Sign Conventions:

• Shear Stress: Tích cực nếu gây ra vòng quay ngược chiều kim đồng hồ (vẽ xuống dưới)27.

• Stress bình thường: Stress(+ve) sang phải, nén (-ve) sang trái5.

Ứng dụng

1. Xác định ứng suất chính: Quan trọng đối với phân tích hỏng hóc trong vật liệu6.

2. Phân tích ứng suất cắt: Xác định lực cắt tối đa cho thiết kế vật liệu dẻo3.

3. Trực quan hóa trạng thái căng thẳng: Đơn giản hóa các tương tác ứng suất phức tạp (ví dụ: uốn và xoắn kết hợp)8.

Phương pháp phân tích so với đồ họa

Vòng tròn Mohr được ưa chuộng rộng rãi vì khả năng thống nhất các khái niệm phân tích ứng suất, mặc dù các phương trình biến đổi vẫn cần thiết cho độ chính xác tính toán36.